দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন (৩.২)

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - পরিসংখ্যান পরিসংখ্যান ২য় পত্র | - | NCTB BOOK

285

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা নির্ধারণের অপেক্ষক (Formula) উদ্ভাবন বা গাণিতিক প্রমাণ একটি ধাপে ধাপে পদ্ধতির মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হয়। এর উদ্দেশ্য হলো $n$ সংখ্যক বার্ণেৌলি প্রচেষ্টার মধ্যে $k$ বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনার অপেক্ষক $P(X = k)$ তৈরি করা।

ধাপ ১: বার্ণেৌলি প্রচেষ্টার বৈশিষ্ট্য

একটি বার্ণেৌলি প্রচেষ্টায়:

সফলতা ( $S$ ): সফলতার সম্ভাবনা $p$ ।
ব্যর্থতা ( $F$ ): ব্যর্থতার সম্ভাবনা $q = 1 - p$ ।

নির্দিষ্ট $k$ বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা $p^k$ , এবং $(n - k)$ বার ব্যর্থতার সম্ভাবনা $(1-p)^{n-k}$ ।

ধাপ ২: নির্দিষ্ট ক্রমে সফলতার সম্ভাবনা

ধরা যাক, $n$ প্রচেষ্টায় $k$ সফলতা নির্দিষ্ট ক্রমে ঘটেছে। উদাহরণস্বরূপ, $SSSF$ এর সম্ভাবনা:

$P(SSSF) = p \cdot p \cdot p \cdot (1-p) = p^3 (1-p)^1$

এটি $p^k (1-p)^{n-k}$ -এর সমান।

ধাপ ৩: বিভিন্ন ক্রমের মোট সম্ভাবনা

$n$ প্রচেষ্টায় $k$ সফলতার সম্ভাবনা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ক্রম নয়, বরং সম্ভাব্য সব ক্রমের সমষ্টি।

এই সম্ভাব্য ক্রমগুলির সংখ্যা গণনা করতে কম্বিনেশন ব্যবহার করা হয়। $n$ -এর মধ্যে $k$ সফলতার ক্রম গণনার জন্য অপেক্ষক হলো:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$

ধাপ ৪: দ্বিপদী বিন্যাসের মূল অপেক্ষক

তাহলে $n$ বার প্রচেষ্টায় $k$ সফলতা পাওয়ার মোট সম্ভাবনা $P(X = k)$ হবে:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

যেখানে:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}$ : ক্রমের সংখ্যা।
$p^k$ : $k$ বার সফলতার সম্ভাবনা।
$(1-p)^{n-k}$ : $(n-k)$ বার ব্যর্থতার সম্ভাবনা।

ধাপ ৫: উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা

ধরা যাক, একটি মুদ্রা ৫ বার নিক্ষেপ করা হয়েছে ( $n = 5$ ), এবং $p = 0.5$ । আমরা $k = 3$ বার হেড (সফলতা) পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করব:

$P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (1-0.5)^{5-3}$

এখানে:

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = 10$ ।
$(0.5)^3 = 0.125$ ।
$(0.5)^2 = 0.25$ ।

তাহলে:

$P(X = 3) = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125$

অর্থাৎ, ৫ বার নিক্ষেপে ৩ বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা ৩১.২৫%।

সারসংক্ষেপ

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন বার্ণেৌলি প্রচেষ্টা, কম্বিনেশন এবং সম্ভাবনার গুণনের ভিত্তিতে তৈরি। এটি $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ আকারে প্রকাশিত হয় এবং বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

Content added By

Sheikh Shakib Bin Shofiq

বার্ণোলী প্রচেষ্টা, দ্বিপদী চলক ও দ্বিপদী বিন্যাস দ্বিপদী বিন্যাসের গড় ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় ও এদের তুলনা দ্বিপদী বিন্যাসের ব্যবহার ও ধর্মাবলী দ্বিপদী বিন্যাসের বিভিন্ন সমস্যাবলী

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন (৩.২)