দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা নির্ধারণের অপেক্ষক (Formula) উদ্ভাবন বা গাণিতিক প্রমাণ একটি ধাপে ধাপে পদ্ধতির মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হয়। এর উদ্দেশ্য হলো \( n \) সংখ্যক বার্ণেৌলি প্রচেষ্টার মধ্যে \( k \) বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনার অপেক্ষক \( P(X = k) \) তৈরি করা।

ধাপ ১: বার্ণেৌলি প্রচেষ্টার বৈশিষ্ট্য

একটি বার্ণেৌলি প্রচেষ্টায়:

1. সফলতা (\( S \)): সফলতার সম্ভাবনা \( p \)।
2. ব্যর্থতা (\( F \)): ব্যর্থতার সম্ভাবনা \( q = 1 - p \)।

নির্দিষ্ট \( k \) বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা \( p^k \), এবং \( (n - k) \) বার ব্যর্থতার সম্ভাবনা \( (1-p)^{n-k} \)।

ধাপ ২: নির্দিষ্ট ক্রমে সফলতার সম্ভাবনা

ধরা যাক, \( n \) প্রচেষ্টায় \( k \) সফলতা নির্দিষ্ট ক্রমে ঘটেছে। উদাহরণস্বরূপ, \( SSSF \) এর সম্ভাবনা:

\[
P(SSSF) = p \cdot p \cdot p \cdot (1-p) = p^3 (1-p)^1
\]

এটি \( p^k (1-p)^{n-k} \)-এর সমান।

ধাপ ৩: বিভিন্ন ক্রমের মোট সম্ভাবনা

\( n \) প্রচেষ্টায় \( k \) সফলতার সম্ভাবনা শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ক্রম নয়, বরং সম্ভাব্য সব ক্রমের সমষ্টি।

এই সম্ভাব্য ক্রমগুলির সংখ্যা গণনা করতে কম্বিনেশন ব্যবহার করা হয়। \( n \)-এর মধ্যে \( k \) সফলতার ক্রম গণনার জন্য অপেক্ষক হলো:

\[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}
\]

ধাপ ৪: দ্বিপদী বিন্যাসের মূল অপেক্ষক

তাহলে \( n \) বার প্রচেষ্টায় \( k \) সফলতা পাওয়ার মোট সম্ভাবনা \( P(X = k) \) হবে:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
\]

যেখানে:

• \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \): ক্রমের সংখ্যা।
• \( p^k \): \( k \) বার সফলতার সম্ভাবনা।
• \( (1-p)^{n-k} \): \( (n-k) \) বার ব্যর্থতার সম্ভাবনা।

ধাপ ৫: উদাহরণ দিয়ে ব্যাখ্যা

ধরা যাক, একটি মুদ্রা ৫ বার নিক্ষেপ করা হয়েছে (\( n = 5 \)), এবং \( p = 0.5 \)। আমরা \( k = 3 \) বার হেড (সফলতা) পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ধারণ করব:

\[
P(X = 3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (1-0.5)^{5-3}
\]

এখানে:

• \( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = 10 \)।
• \( (0.5)^3 = 0.125 \)।
• \( (0.5)^2 = 0.25 \)।

তাহলে:

\[
P(X = 3) = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125
\]

অর্থাৎ, ৫ বার নিক্ষেপে ৩ বার সফলতা পাওয়ার সম্ভাবনা ৩১.২৫%।

সারসংক্ষেপ

দ্বিপদী বিন্যাসের সম্ভাবনা অপেক্ষক উদ্ভাবন বার্ণেৌলি প্রচেষ্টা, কম্বিনেশন এবং সম্ভাবনার গুণনের ভিত্তিতে তৈরি। এটি \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \) আকারে প্রকাশিত হয় এবং বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।